非稳态导热的集总参数法

📋 题目背景： 某动力电机运行一段时间后，其转子温度达到 t₀ = 140 ℃，假设此时转子温度均匀分布。此后停机冷却，冷却系统正常运行。已知该电机转子材料为 60 钢，λ = 42.64 W/(m·K)，c = 472 J/(kg·K)， ρ = 7835 kg/m³。转子为圆柱形，半径 r = 72 mm，长度 L = 140 mm，表面换热系数 h = 15 W/(m²·K)，环境空气温度 t_∞ = 20 ℃。请问转子温度下降到 t = 30 ℃ 需要多长时间？

⚙️ 交互参数设置

转子材料：60 钢（固定）
λ = 42.64 W/(m·K)，c = 472 J/(kg·K)，ρ = 7835 kg/m³

转子初始温度 t₀140

目标温度 t30

环境温度 t∞20

转子半径 r (mm)72

转子长度 L (mm)140

表面换热系数 h15.0

毕渥数 Bi

—

集总参数法适用性

—

冷却至目标温度时间

—

📈 温度随时间的变化

📊 热流量随时间的变化

📘 题目解答

① 分析毕渥数 — 判断是否可用集总参数法

转子体积：V = π·r²·L = π × 0.072² × 0.140 = 2.280 × 10⁻³ m³
散热面积（圆柱侧面）：A = 2π·r·L = 2π × 0.072 × 0.140 = 6.334 × 10⁻² m²
特征长度：L_c = V/A = r/2 = 0.036 m

Bi = h·L_c / λ = 15 × 0.036 / 42.64 = 0.0127 < 0.1 ✓
毕渥数远小于 0.1，物体内温度梯度可忽略，可用集总参数法。

② 集总参数法温度响应公式

(t − t_∞) ⁄ (t₀ − t_∞) = e^{− hA ⁄ (ρ c V) · τ}
(30 − 20) / (140 − 20) = e^{− 15 × 0.06334 ⁄ (7835 × 472 × 0.00228) · τ}
t = - 8874.55 · ln(0.0833) = 22053 s ≈ 6.13 h

即约 6.13 小时，电机转子温度才能从 140 ℃ 降至 30 ℃。

③ 任一时刻的热流量

Φ(t) = h·A·(t(τ) − t_∞) = h·A·(t₀ − t_∞)·e^{− hA ⁄ (ρ c V) · τ}
初始热流量 Φ₀ = 15 × 0.06334 × (140 − 20) = 114.0 W
随时间按指数衰减，∞ 时刻降至 0 W。

💡 结论

集总参数法适用条件：当 Bi < 0.1 时，物体内部温度梯度可忽略，整个物体可视为"集总"的一点，温度仅随时间变化。本题 Bi = 0.0127，满足条件。

温度响应规律：转子温度按指数规律衰减，时间常数 τ = 2.47 h 是温度变化快慢的度量——经过 τ 秒后过余温度降至初值的 1/e ≈ 36.8%。

冷却时间：从 140 ℃ 降至 30 ℃ 需约 6.16 小时，这是一个相当长的过程，说明大体积金属构件的热惯性很大。

热流量衰减：初始热流量 114 W 随时间指数下降，冷却后期散热速率极低，大部分热量在最初 2~3 个 τ 内散出。

🤔 思考题

电机冷却时间需要好几个小时，不短。对工程上有什么影响呢？

💡 查看参考思路

① 能耗问题：冷却系统持续运行 6 个小时，耗能必定不少，需要在运行成本中考虑。
② 初始条件不确定性：如果没有完全冷却即启动下一轮运行，转子的初始温度与环境温度不同，而且很难准确获知，这样对转子温度的估计带来困难，影响热管理策略的制定。
③ 试验效率：如果做台架或系统试验，一般需要等待冷却完成后再启动下一轮试验，可见这个等待时间比较长，在试验方案设计的时候需要充分考虑。
④ 优化方向：可考虑增大换热系数 h（如强制风冷/水冷）、增大散热面积等手段缩短冷却时间。