材料力学 · 应力与应变

一个张量,所有方向的响应

拖动仅改变观察视角 · 双击复位
点击矩阵,高亮对应的面和方向
编辑固定坐标系中的应力与材料参数
输入 σ(MPa);非对角分量自动满足剪应力互等。转动坐标不会改写这些输入。
应变由各向同性线弹性关系计算;材料参数不改变给定的应力张量。
符号约定、模型假设与教学要点
应力分量与箭头

沿用课件下标:第一个表示面法向,第二个表示作用方向。正坐标面上,沿正坐标方向为正;相反面箭头反向。不要把二维“顺时针正”的剪应力标量规则直接套在三维矩阵上。

本模型 σ 对称,9 个矩阵位置只有 6 个独立分量。按上述下标,tⱼ = Σᵢ σᵢⱼnᵢ;因 σ = σᵀ,亦可写 t = σn。|τ| 表示剪应力向量的模,始终非负。

应力与应变的联系

采用均匀小邻域、经典连续体、各向同性小变形线弹性假设;不包含屈服或刚体转动。ε = [(1 + ν)σ − ν tr(σ)I] / E;非对角元满足 γᵢⱼ = 2εᵢⱼ。应变的对称性来自定义,应力的对称性来自角动量平衡。

显示几何使用 x显 = (I + 放大倍数 × ε)X。应变数值不放大;tr(ε) 是真实体积应变的一阶近似,不是放大后图形的体积变化。

坐标、压强与对面

Q 的列为新坐标基:σ′ = QᵀσQ,ε′ = QᵀεQ。相机转动不改变分量;坐标基转动改变分量但不改变物理状态和主值。重根时主方向并不唯一。

静水压力 p 是标量,对应 σ = −pI;各方向都只有压应力。一般应力状态还可以有剪应力。本模型的相反面代表同一点两侧的作用;不把“相等反向”推广到有限尺寸、非均匀应力的物体两端。