🎮 四元数与空间旋转
Quaternion · $q = w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ · 旋转轴-角度 · 旋转矩阵 · 万向锁
💡 数学背景
四元数 (Quaternion)：由 Hamilton 于 1843 年发现的四维超复数。一个单位四元数 $q = w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$（满足 $|q|=1$）唯一刻画三维空间的一个旋转：绕轴 $\mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z)$ 旋转角度 $\theta$，对应 $$q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}(n_x\mathbf{i}+n_y\mathbf{j}+n_z\mathbf{k})$$
旋转复合：先旋转 $q_1$ 再旋转 $q_2$ 等价于四元数乘法 $q = q_2 q_1$。这正是 Hamilton 四元数乘法的几何意义。
向量旋转公式：空间向量 $\mathbf{v}$ 经旋转 $q$ 后变为 $\mathbf{v}' = q\mathbf{v}\bar{q}$，其中 $\bar{q}$ 是 $q$ 的共轭。
双覆盖 (Double Cover)：$q$ 和 $-q$ 表示同一个旋转。单位四元数构成三维球面 $S^3$，旋转群 $SO(3)$ 同构于 $S^3/\{\pm 1\}$。
万向锁 (Gimbal Lock)：欧拉角在特定姿态下会丢失一个自由度（例如俯仰角 $\pm 90°$ 时偏航和翻滚退化为同一轴）。四元数表示不会出现此问题，因此被广泛应用于航空、游戏引擎和机器人控制。
与抽象代数的联系：四元数体 $\mathbb{H}$ 是最著名的非交换除环 (division ring)，是 Wedderburn 定理和 Brauer 群中的重要对象。单位四元数群与旋转群的关系是 Lie 群理论的经典范例。
❓ 课堂问答 FAQ
Q1：画面看起来是二维的，那小人「跳起来」到更高位置时，怎么在这个平面里看出高度不一样？
实验场景实际是三维 (Three.js 透视投影)，只是投影到二维屏幕上。为了让高度变化一眼看清，我们加了三个语义标记：
- 橙色商圈（地面投影）：表示小人在地面 (XZ 平面) 上的正下方位置，不随高度变化。
- 虚线垂直“拉线”：从小人脚下到商圈。它越长表示小人跳得越高；y=0 时虚线消失。
- 位置读出器（左上角 📍）：高度 y 用橙色高亮，在空中时加 ↑ 符号。
另外，玩家可以右键/中键拖动重新设置镜头角度——从侧面看会更明显地看出高度变化。
Q2：四元数里面有一个向量 $(x,y,z)$ ，是否与“旋转轴 + 旋转角”重复了？
并不重复。单位四元数总共只有 3 个独立实参数（受 $|q|=1$ 约束，4 个变量减去 1 个），恰好对应“轴 (2 个独立参数，因为轴是单位向量) + 角度 (1 个)”一共 3 个。体现为：
$$ q \;=\; \underbrace{\cos\tfrac{\theta}{2}}_{w}\;+\;\underbrace{\sin\tfrac{\theta}{2}}_{\text{含}\,\theta}\,\bigl(\,\underbrace{n_x\mathbf{i}+n_y\mathbf{j}+n_z\mathbf{k}}_{\text{含轴\,}\mathbf{n}}\bigr) $$
- 实部 $w=\cos(\theta/2)$ 只编码了角度；
- 虚部 $(x,y,z) = \sin(\theta/2)\,\mathbf{n}$ 同时编码了轴的方向与角度的 “正弦十足”；
- 从 $(x,y,z)$ 反求轴要除以 $\sin(\theta/2)$，占用了角度信息；反之从 $w$ 只能反求出 $|\theta|$，拿不出轴。
换句话：如果只留下 $w$ 与“轴-角度”里的角度，轴的方向就丢失了；只留下 $(x,y,z)$ 而不附“规范化轴”，则必须再倒推一次。因此三个虚部是“一体两面”，不是冗余。
在右侧「旋转轴 · 角度」面板中，实验以 $w=\cos(\theta/2)$ 为中间量推出 $\theta$，再用 $\sin(\theta/2)$ 从 $(x,y,z)$ 提取轴 $\mathbf{n}$，便是这个推导过程的可视化。