互动实验室
用交互式可视化理解抽象代数——亲手操作，
让群、环、域不再"抽象"
15-Puzzle
置换群 · 逆序数
轮换分解 · 可解性判定
3D 华容道
2×2×2 三维版
$S_8$ · 三维奇偶性
对称群分解
陪集分解 · 共轭类
正规子群 · Cayley 表
雪花与手链
$D_6$ 二面体群
旋转 · 反射 · Burnside
高斯整数商环
$\mathbb{Z}[i]/(\alpha)$ 探索
理想 · 商环 · 传送门
SVD 实验室
奇异值分解
图像压缩 · 低秩近似
线性代数三维交互演示
向量与线性变换
行列式 · 体积 · 特征方向
四元数旋转
空间旋转 · 四元数
旋转矩阵 · 万向锁
🧩 15-Puzzle — 数字华容道
每一步滑动都是一个对换 (transposition)。通过"数学透镜"实时观察置换数组 $\sigma \in S_{15}$、逆序数 $N(\sigma)$、轮换分解和可解性判定 $(N+e) \bmod 2$。
🧊 3D 华容道 — 2×2×2 三维版
将华容道推广到三维空间：8 个方块在 $2\times2\times2$ 立方体中移动。不变量变为 $(N + x + y + z) \bmod 2$，可解性分析扩展到 $S_8$ 上的 3D 坐标奇偶性。支持 3D 旋转视角和层切面视图。
🔬 对称群分解 — 陪集与共轭类
交互式可视化 $S_3$ 和 $S_4$ 的结构：选择子群 $H$，实时展示左陪集 $gH$、右陪集 $Hg$ 分解，判别正规子群。切换到共轭类模式查看类方程，或浏览完整的 Cayley 乘法表。
❄️ 雪花与手链 — $D_6$ 群作用
$D_6$ 二面体群的 12 个操作作用于六角雪花和彩色手链。双视图对比旋转 $r^k$ 和反射 $sr^k$ 的效果，智能筛选器展示稳定子 (Stabilizer)。
🌐 Gaussian Mod World — 高斯整数商环
在 $\mathbb{Z}[i]/(\alpha)$ 的有限商环中移动，发现"传送门"效应。挑战模式：找到指定元素的逆元。理想格点视图可视化 $(\alpha)$ 的格结构。
🖼️ SVD 实验室 — 奇异值分解
上传照片亲眼看到 $A = U\Sigma V^T$。交互滑块控制保留前 $k$ 个奇异值，可视化低秩近似、信息保留率和"特征脸"分量。
🎮 四元数与空间旋转
操控 3D 小人体验四元数刻画空间旋转的数学原理。实时显示四元数 $q = w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 的数值变化、旋转轴-角度分解、旋转矩阵，以及欧拉角的万向锁 (Gimbal Lock) 对比。支持键盘精准操控和鼠标自由拖拽两种模式。
📐 线性空间 — 矩阵的几何意义
拖动三个列向量，观察平行六面体的体积与行列式；用拉伸、反射、旋转和降维示例理解线性映射，分析实特征方向，并比较任意两个历史状态。列向量线性无关时才构成基。
💡 数学联系
15-Puzzle ↔ 置换群：所有可达状态构成 $A_{15}$（交错群），因为每次合法移动保持不变量 $(N+e) \bmod 2$。
3D 华容道 ↔ 三维置换：将不变量推广到三维坐标 $(N + x + y + z) \bmod 2$，体验维度增加对可解性分析的影响。
对称群分解 ↔ Lagrange 定理：陪集分解直观展示 $|G| = [G:H] \cdot |H|$，正规子群判别 $gH = Hg$，类方程 $|G| = \sum |C_i|$。
雪花手链 ↔ 二面体群：正六边形的对称群 $D_6$ 有 12 个元素，Burnside 引理计数本质不同的染色。
Mod World ↔ 商环：$\mathbb{Z}[i]$ 模去理想 $(\alpha)$ 形成有限商环，理想的格点结构清晰可见。
SVD ↔ 线性变换：矩阵分解为旋转—拉伸—旋转，是理解线性映射几何本质的关键。
四元数 ↔ 除环与旋转群：四元数体 $\mathbb{H}$ 是最经典的非交换除环；单位四元数群 $S^3$ 双覆盖旋转群 $SO(3)$，是 Lie 群理论的入门范例。