教学大纲
课程信息与教学安排
📋 课程基本信息
课程名称
抽象代数 (Abstract Algebra)
课程代码
MATH 2401
授课教师
高云 副教授
学时/学分
64 学时 / 4 学分
开课院系
数学科学学院
授课学期
2025 春
课程类型
专业必修课
先修课程
数学分析、高等代数、初等数论
📚 课程内容概览
第一部分：群论 (Group Theory) — 15 讲 · 30 学时
群的定义与基本性质、子群与 Lagrange 定理、元素的阶与循环群、正规子群与商群、群同态基本定理、置换群、群在集合上的作用与项链计数(Burnside 引理)、Sylow 定理、群的直积、有限生成 Abel 群结构定理、小阶群的结构。
第二部分：环论 (Ring Theory) — 10 讲 · 20 学时
环的定义与同态基本定理、整环的商域、环的直和与中国剩余定理、极大理想与素理想、唯一因子分解环(UFD)、主理想整环(PID)、欧几里得环(ED)、多项式环。
第三部分：域论 (Field Theory) — 7 讲 · 14 学时
域的扩张、分裂域与同构延拓定理、有限域的结构与应用、可分扩域与正规扩域、有限 Galois 扩域、尺规作图的代数化。
📐 教学进度安排
| 章节 | 教学内容 | 学时 |
|---|---|---|
| 群论 | 群的定义、子群与 Lagrange 定理 | 4 |
| 元素的阶、共轭关系、循环群 | 4 | |
| 正规子群、商群、群同态基本定理、置换群 | 6 | |
| 群在集合上的作用、项链问题、Sylow 定理 | 4 | |
| Sylow 定理（续）、群的直积 | 4 | |
| 群的生成元与定义关系、有限 Abel 群 | 4 | |
| 小阶群的结构 | 4 | |
| 环论 | 环的概念、无零因子环的特征、环同态基本定理 | 4 |
| 整环的商域、环的直和、中国剩余定理、极大理想和素理想 | 6 | |
| 唯一因子分解环、主理想整环 | 6 | |
| 欧几里得环、多项式环 | 4 | |
| 域论 | 域的扩张 | 4 |
| 分裂域与同构延拓定理 | 4 | |
| 有限域 | 4 | |
| 可分扩域、正规扩域与有限伽罗瓦扩域 | 4 |
📖 参考教材
《近世代数引论》（第 4 版）
冯克勤、李尚志、章璞 著 · 中国科学技术大学出版社 · 2018 · "十二五"国家重点图书
Abstract Algebra — Dummit & Foote
经典英文教材，内容全面，习题丰富
Algebra — Michael Artin
几何直觉丰富，重视线性代数与群论的联系
📝 考核方式
60%
期末考试
20%
平时作业
20%
大作业
🔗 后续课程
群与代数表示论、编码与密码、图与网络、代数数论、代数拓扑、李群与李代数、代数几何