每周思考 · 交大数学

1

群的基本概念

Q1. $G$是半群，如果对任意$a,b \in G$，方程$xa=b$和方程$ay=b$在$G$内有解，证明：$G$是群。 ▶

Q2. $G$是半群，给出$G$是群的充分必要条件。 ▶

Q3. 在偶数阶群$G$中，证明：方程$x^2=1$总有偶数个解。 ▶

Q4. 证明：群$G$的有限子集$A$是$G$的子群当且仅当对任意$a,b \in A$，$ab \in A$。 ▶

💡 提示：试着构造单位元，利用有限性推出逆元存在。

2

陪集与元素的阶

Q1. $G$的子群$H$，在$G$上定义等价关系：$x \sim y$ 当且仅当存在 $g,h \in H$ 使得 $xg=hy$，探讨其在陪集划分上的应用。 ▶

Q2. 对于 $G$ 中指数有限的子群 $H$，证明存在一个集合既是左陪集代表元系，同时又是右陪集代表元系。 ▶

Q3. 群 $G$ 中元素 $a$ 的阶是使得 $a^m=e$ 的最小正整数 $m$，记作 $o(a)$，讨论其基本性质。 ▶

Q4. 记 $S_n$ 为 $n$ 阶对称群，分析其基本特点及在数学中的应用。 ▶

Q5. 归纳群同构的一般证明步骤，并探讨群同构的作用。 ▶

💡 提示：思考双陪集的结构，以及元素阶与群阶的整除关系。

3

正规子群与商群

0318

Q1. 设 $N < M < G$，$N \triangleleft M$，$N$ 是否一定是 $G$ 的正规子群？举例说明。 ▶

Q2. 正规子群是否有传递性？如果 $N \triangleleft M$ 且 $M \triangleleft G$，是否能推出 $N \triangleleft G$？ ▶

Q3. 设 $G = \{(a,b) \mid a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \}$ 带有乘法 $(a,b)(c,d) = (ac, ad+b)$ 的群，证明 $K = \{(1,b)\}$ 是 $G$ 的正规子群且 $G/K \cong \mathbb{R}^*$。 ▶

Q4. 设 $f:G \to H$ 是群同态，$g$ 是 $G$ 的有限阶元素，则 $f(g)$ 的阶整除 $g$ 的阶。 ▶

💡 提示：正规性不具传递性——尝试构造反例。

4

置换群与群作用

0326

Q1. $S_n$内具有相同型（type）的元素构成$S_n$的一个共轭类。特别地，$\tau \sigma \tau^{-1}$ 的轮换表示可由 $\tau$ 在 $\sigma$ 的轮换上的作用得到。 ▶

Q2. $S_n$中元素可以拆解为不相交轮换的乘积，其阶等于各轮换长度的最小公倍数。 ▶

Q3. $S_n$中任意元素可以拆解为一系列对换的乘积，$A_n$中任意元素可以拆解为一系列长度为 3 的轮换的乘积。 ▶

Q4. 群同态$G \to S(\Sigma)$称为$G$在集合$\Sigma$上的置换表示，固定子群$G_a$的指数等于包含$a$的$G$-轨道的大小。 ▶

Q5. 若$G$在$\Sigma$上作用可迁，且$N \triangleleft G$，则$\Sigma$在$N$作用下，每条轨道具有相同大小。 ▶

💡 提示：利用轨道-稳定子定理证明关键结论。

5

Burnside 引理与 Sylow 定理

0407

Q1. 项链计数问题：有一些不同颜色的珠子各若干颗，一共$n$颗珠子，问可以串成多少种不同的项链？ ▶

Q2. 有四种不同颜色的珠子各两颗（共8颗），问可以串成多少种不同的项链？ ▶

Q3. 若素数 $p$ 整除有限群 $G$ 的阶 $|G|$，证明 $G$ 中存在 $p$ 阶元素。(Cauchy 定理) ▶

Q4. 理解并阐述Sylow定理的三个部分：存在性、共轭性、计数性质。 ▶

Q5. 记 $P$ 为群 $G$ 的一个Sylow $p$-子群，证明 $G$ 的Sylow $p$-子群个数等于 $[G:N_G(P)]$。 ▶

Q6. 确定对称群 $S_4$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(S_4)$。 ▶

Q7. 若 $n$ 是正奇数，求证二面体群 $D_{2n} \cong D_n \times \mathbb{Z}_2$。 ▶

💡 提示：应用Burnside引理和轨道-稳定化子定理；柯西定理可用循环群在元组集合上的作用证明。

6

群的表现与有限 Abel 群

0414

Q1. 任意群 $G$ 可以表示为某个自由群的商群形式 $G \cong F(S)/K$，其中 $S$ 是生成元集，$K$ 是定义关系。 ▶

Q2. 设 $H$ 为群，$K \triangleleft H$，若 $K$ 是包含子集 $P$ 的最小正规子群，则称 $K$ 是由 $P$ 生成的正规子群。 ▶

Q3. 证明群的表现的一般步骤：选取生成元、找出关系、构造自由群的商。 ▶

Q4. 一个有限 Abel 群 $A$ 非循环的充要条件是：存在素数 $p$ 使得 $A$ 中存在子群 $H \cong \mathbb{Z}_p^2$。 ▶

💡 提示：尝试对具体的群（如 $D_4$ 或 $Q_8$）构造生成元与关系的表现。

7

环的基本概念

0421

Q1. 对于交换环 $R$ 和其理想 $I$，证明根理想 $\sqrt{I} := \{ r \in R \mid \exists m,\ r^m \in I \}$ 是 $R$ 的理想。 ▶

Q2. 举例说明环的中心不一定是理想。（例如 $M_n(F)$ 的中心是子环但不是理想。） ▶

Q3. 给出环同态的定义。若 $R, R'$ 有单位元且 $f(1_R) = 1_{R'}$，则称为单位环同态。 ▶

Q4. 若 $I, J$ 是环 $R$ 的两个理想，证明乘积 $IJ$ 是 $R$ 的理想。 ▶

Q5. 设 $R = \mathbb{Z}[x]$，$I = (x^2), J = (x+1)$，计算 $IJ$，并验证其是否等于 $I \cap J$。 ▶

💡 提示：根理想封闭性需要用二项式定理；理想乘积比交一般更小。

8

素理想与极大理想

0512

Q1. 素理想的定义：真理想 $P$ 满足 $IJ \subseteq P \Rightarrow I \subseteq P$ 或 $J \subseteq P$。交换环中等价于 $ab \in P \Rightarrow a \in P$ 或 $b \in P$。 ▶

Q2. 极大理想的定义与性质：在带单位元的交换环中，任何极大理想都是素理想。 ▶

Q3. 判定高斯整数环 $\mathbb{Z}[i]$ 中的素理想：$p \equiv 3 \pmod 4$ 时 $(p)$ 为素理想，$p \equiv 1 \pmod 4$ 时 $(p)$ 可分解。 ▶

Q4. 分析矩阵环 $R = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \right\}$ 中的素理想结构。 ▶

Q5. 设 $R = \mathbb{Z}[x]$，证明 $(x)$ 是素理想但不是极大理想，并找出一个包含 $(x)$ 的极大理想。 ▶

💡 提示：利用范数函数 $N(a+bi)=a^2+b^2$ 辅助判断高斯整数中的素理想。

9

理想的结构与商域

0428

Q1. 设 $I_1 \subset I_2 \subset \cdots$ 是理想升链，证明 $\bigcup_{i=1}^\infty I_i$ 仍为理想。 ▶

Q2. 若 $R \cong R_1 \oplus \cdots \oplus R_m$，则 $R$ 的理想可表示为各分量理想的直积。 ▶

Q3. 若 $D$ 是整环，构造其商域 $K = \operatorname{Frac}(D)$，元素形如 $\frac{a}{b}$。 ▶

Q4. 商域满足最小性泛性质：若 $g: D \to M$ 是到域 $M$ 的单同态，则可唯一扩张为 $g': K \to M$。 ▶

Q5. 设 $R = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$，写出 $R$ 的全部极大理想，并说明它们是否是素理想。 ▶

💡 提示：理想升链的并封闭性利用链条件；$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 的理想形如 $I_1 \oplus I_2$。

10

唯一分解与多项式环

0519

Q1. 定义整环中的最小公倍元和最大公约元，理解其对偶性。 ▶

Q2. 若整环中任意两个元的最小公倍元存在，则最大公约元也存在，且 $(a,b)[a,b] \sim ab$。 ▶

Q3. 举例说明 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 和 $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$ 不是唯一分解整环。 ▶

Q4. 在 $\mathbb{Z}[i]$ 中分解 $23 - 61i$。 ▶

Q5. 在PID中，方程 $ax + by = c$ 有解 $\Leftrightarrow (a, b) \mid c$。 ▶

Q6. 高斯引理：若 $f, g \in D[x]$ 是本原多项式，则 $fg$ 也是本原；$c(fg) = c(f) \cdot c(g)$。 ▶

Q7. 本原多项式在商域上的因式可以"拉回"到整环上。 ▶

Q8. 在含幺交换环 $R$ 中，$f(x) \in R[x]$ 是单位 $\Leftrightarrow$ $a_0 \in U(R)$ 且 $a_1, \ldots, a_n$ 全为幂零元。 ▶

💡 提示：利用范数分解高斯整数；$6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$ 说明非UFD。

11

不可约元与素元

0526

Q1. 不可约元与素元的定义与关系：在整环中素元一定不可约；非零元是素元 $\Leftrightarrow$ 其生成的主理想为素理想。 ▶

Q2. 证明 $2 + \sqrt{-3}$ 是 $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 中的素元。 ▶

Q3. 在有限交换环中，素理想必为极大理想；等价地说，有限整环总是域。 ▶

Q4. 在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，$3$ 是素元吗？是不可约元吗？ ▶

💡 提示：利用范数 $N(a+b\sqrt{-3})=a^2+3b^2$ 判断不可约性；有限整环通过有限性推出为域。