蒙特卡洛积分

要估计 $I = \int_a^b g(x)\,dx$，取 $X \sim U(a,b)$，则 $E[(b-a)g(X)] = I$。生成 $N$ 个独立样本 $X_1,\cdots,X_N$，由大数定律 $\hat I_N = \dfrac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N g(X_i) \xrightarrow{P} I$。误差 $\mathcal{O}(1/\sqrt N)$ 与维度无关——这就是 Monte Carlo 在高维中优于网格法的根本原因。