📝 每周思考题

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W1

随机事件与古典概型

💡 提示：列出样本空间，利用古典概型的基本公式 $P(A)=|A|/|\Omega|$。

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    将 3 个不同的球随机放入 4 个不同的盒子，求第 1 号盒恰好有 1 个球的概率。
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    $P = \binom{3}{1} \cdot 3^2 / 4^3 = 27/64$
  2. 2
    从 52 张扑克中随机抽 5 张，求恰为同花顺（含同花大顺与 A 小顺）的概率。
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    4 种花色 × 10 种顺子起点 = 40 种 / $\binom{52}{5}=2598960$ ≈ $1.54 \times 10^{-5}$
W2

条件概率与贝叶斯

💡 提示：画出树状图列出 $P(B_i)$ 与 $P(A|B_i)$ 再套用贝叶斯公式。

  1. 1
    某病在人群中患病率 0.1%，检验灵敏度 99%，特异度 95%。若某人检验呈阳性，其患病的后验概率是多少？
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    $P(D|+) = \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05} \approx 1.94\%$——远低于直觉，说明低发病率下假阳性主导！
W3

常见分布与数字特征

  1. 1
    $X \sim P(\lambda)$（泊松），证明 $E(X)=D(X)=\lambda$。
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    利用级数 $\sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda$；$E(X^2)$ 同理。
  2. 2
    指数分布 $E(\lambda)$ 的无记忆性证明：$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$。
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    $P(X>s+t|X>s) = \frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t)$
W4

大数定律与 CLT 的应用

  1. 1
    某厂生产的零件次品率 3%。随机抽 400 个，求次品数不超过 15 个的概率（用 CLT 近似）。
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    $X\sim B(400,0.03), \mu=12,\sigma^2=11.64$。$P(X\le 15) \approx \Phi(\frac{15.5-12}{\sqrt{11.64}}) \approx \Phi(1.026) \approx 0.848$
W5

参数估计

  1. 1
    $X \sim U(0,\theta)$，样本 $X_1,\cdots,X_n$。求 $\theta$ 的矩估计与 MLE，并比较无偏性。
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    矩估计：$\hat\theta_M = 2\bar X$（无偏）；MLE：$\hat\theta_L = X_{(n)} = \max X_i$（有偏，$E(X_{(n)})=\frac{n}{n+1}\theta$）。修正后 $\frac{n+1}{n}X_{(n)}$ 是无偏且方差更小。