核心概念与定义
26 项
定义
#D
条件概率
\(\text{设 } A, B \text{ 是两个事件，且 } P(A) > 0，\text{ 则称 } \\
P(B\mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \\
\text{为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率。}\)
定义
#B1
随机试验的概念
\[
\begin{aligned}
&\text{随机试验（Random Experiment）：指满足以下三个特点的试验：} \\
&\quad 1.\ \text{可在相同条件下重复进行。} \\
&\quad 2.\ \text{每次试验的可能结果不止一个，并且所有可能结果在试验前是已知的。} \\
&\quad 3.\ \text{试验进行前不能确定哪个结果会出现。}
\end{aligned}
\]
定义
#B21
样本空间的概念
\[
\begin{aligned}
&\text{样本空间（Sample Space, } \Omega \text{）：}\\
&\text{ 随机试验的所有可能基本结果组成的集合，集合中的元素称为样本点（Sample Point）。}
\end{aligned}
\]
定义
#B22
随机事件是样本空间的子集
\( \text{随机事件（Random Event）：样本空间 } \Omega \text{ 的某个子集，通常用大写字母 } A, B, C, \ldots \text{ 表示。它表示试验中我们关心的一组结果。}\)
定义
#B2211
基本事件
\(\text{基本事件（Elementary Event）：由单个样本点组成的事件。}\)
定义
#B2212
必然事件
\(
\begin{aligned}
&\text{必然事件（Certain Event）：}\\
&\text{每次试验中必定发生的事件，对应整个样本空间 } \Omega \text{。}
\end{aligned}
\)
定义
#B2213
不可能事件
\(
\begin{aligned}
&\text{不可能事件（Impossible Event）}\\
&\text{：每次试验中都不能发生的事件，对应空集 } \emptyset \text{。}
\end{aligned}
\)
定义
#B231
包含，和，积，差，互斥（互不相容），对立
\[
\begin{aligned}
&\textbf{事件关系：} \\
&\text{包含（Inclusion）：若事件 } A \text{ 发生必然导致事件 } B \text{ 发生，则称事件 } B \text{ 包含事件 } A，\text{记作 } A \subseteq B。 \\
&\text{相等（Equality）：若 } A \subseteq B \text{ 且 } B \subseteq A，\text{ 则 } A = B。 \\
&\text{互斥（Mutually Exclusive）：若 } A \cap B = \emptyset，\text{ 称事件 } A \text{ 与 } B \text{ 互不相容。} \\
&\text{对立事件（Complementary）：若 } A \cap B = \emptyset \text{ 且 } A \cup B = \Omega，\text{ 则 } B = \bar{A} = \Omega - A。 \\
\\
&\textbf{事件运算：} \\
&\text{并（Union）： } A \cup B \text{ 或 } A + B。 \\
&\text{交（Intersection）： } A \cap B \text{ 或 } AB。 \\
&\text{差（Difference）： } A - B = A \cap \bar{B} \text{ 或 } A\bar{B}。 \\
&\text{补（Complement）： } \bar{A} = \Omega - A。
\end{aligned}
\]
定义
#B241
交换律，结合律， 分配律，对偶律
\[
\begin{aligned}
&\textbf{运算律（Laws of Operations）：} \\
&\text{交换律（Commutative Laws）： } A \cup B = B \cup A,\quad A \cap B = B \cap A。 \\
&\text{结合律（Associative Laws）： } (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)。 \\
&\text{分配律（Distributive Laws）： } A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),\quad A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)。 \\
&\text{德摩根律（De Morgan's Laws）： } \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},\quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}。
\end{aligned}
\]
定义
#C1
频率
\[
\begin{aligned}
&\textbf{频率（Frequency）：} \\
&\text{在 } n \text{ 次重复试验中，事件 } A \text{ 发生的次数为 } n_A，\text{ 总次数为 } n， \\
&\text{频率定义为：}f_n(A) = \frac{n_A}{n}。 \\
&\text{频率具有波动性，随试验次数 } n \text{ 的变化而变化。}
\end{aligned}
\]
定义
#C11
非负，规范，有限可加， 稳定性
\(
\begin{aligned}
&\textbf{非负性:}\; 0\le f_n(A)\le 1,\quad \text{对任意事件 } A;\\
&\textbf{规范性:}\; f_n(\Omega)=1;\\
&\textbf{有限可加性:} \text{若事件 } A_1,A_2,\dots,A_n \text{ 两两互不相容，则}\\
&\qquad f_n\!\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)=\sum_{i=1}^{n} f_n(A_i).\\
&\textbf{稳定性:随着实验次数n的增加，事件的频率会稳定在一个值附近。}\!
\end{aligned}
\)
定义
#C2
概率的公理化定义
\[
\begin{aligned}
&\textbf{概率的公理化定义（Axiomatic Definition of Probability）：}\\
&\text{设 } \Omega \text{ 是样本空间，概率函数 } P(A) \text{ 满足以下三条公理：}\\
&1.\ \text{非负性（Non-negativity）：}\quad P(A) \ge 0。\\
&2.\ \text{规范性（Normalization）：}\quad P(\Omega) = 1。\\
&3.\ \text{可列可加性（Countable Additivity）：}\\
&\quad \text{若 } A_1, A_2, \dots \text{ 两两互不相容（即 } A_i \cap A_j = \emptyset \text{ 对于 } i \neq j）\text{，则：}\\
&\quad P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)。
\end{aligned}
\]
定义
#C22
概率的定义
\[
\begin{aligned}
&\textbf{概率的统计定义（Statistical Definition of Probability）：} \\
&\text{当试验次数 } n \text{ 充分大时，事件 } A \text{ 的频率 } f_n(A) \text{ 会趋近于某个固定值，即 } \\
&P(A) \approx f_n(A)，\text{ 当 } n \text{ 很大时。}
\end{aligned}
\]
定义
#C231
不可能事件的概率为0
\( \textbf{不可能事件的概率（Probability of Impossible Event）}：P(\emptyset) = 0。\)
定义
#C232
互为对立事件的 概率之和为1
\[
\begin{aligned}
&\textbf{对立事件的概率（Probability of Complementary Event）}：\\
&对于任意事件 A，\text{有 } P(\bar{A}) = 1 - P(A)。\\
\end{aligned}
\]
定义
#C233
有限可加性
\[
\begin{aligned}
&\textbf{有限可加性（Finite Additivity）：}\\
&\text{若事件 }A_1, A_2, \ldots, A_n \text{ 两两互斥，则 } P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)。
\end{aligned}
\]
定义
#C234
两事件概率之差计算
\[
\begin{aligned}
&\textbf{减法公式（Subtraction Formula）}：\\
&对于任意两个事件 A 和 B，\text{有 } P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)。\\
&\text{特别地，若 } B \subset A \text{，则}P(A - B) = P(A) - P(B)
\end{aligned}
\]
定义
#C235
加法定理
\[
\begin{aligned}
&\textbf{加法公式（Addition Rule）}：\\
&对于任意两个事件 A 和 B，\text{有 } P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)。
\end{aligned}\]
定义
#D1
计算公式及相关性质
\(
\begin{aligned}
(1) &\ \text{(非负性)}\quad P(B\mid A) \geq 0; \\
(2) &\ \text{(规范性)}\quad P(\Omega\mid A) = 1; \\
(3) &\ \text{(可列可加性)}\quad P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i \mid A\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(B_i \mid A), \\
&\ \text{其中 } B_i B_j = \emptyset,\ i \ne j,\ i,j = 1,2,\dots; \\
(4) &\ P(B\mid A) + P(\bar{B}\mid A) = 1; \\
(5) &\ P(B \cup C \mid A) = P(B\mid A) + P(C\mid A) - P(BC\mid A).
\end{aligned}
\)
定义
#D11
乘法公式
\[
\begin{aligned}
&\text{若 } P(A), P(B) > 0, \text{ 则由条件概率公式：} \\
&P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, \quad P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \\
&\text{分别可得：} P(AB) = P(B \mid A) P(A), \quad P(AB) = P(A \mid B) P(B) \\
&\text{称以上公式为乘法公式。}
\end{aligned}
\]
定义
#D12
全概率公式
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } B_1, B_2, \cdots, B_n \text{ 是随机试验的样本空间 } \Omega \text{ 的一个划分，且 }\\
&P(B_i) > 0\ (i = 1,2,\cdots,n)，\text{则对任一事件 } A，有：\\
&P(A) = \sum\limits_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)。\text{上述公式称为全概率公式。}
\end{aligned}
\)
定义
#D13
贝叶斯公式
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } B_1, B_2, \cdots, B_n \text{ 是试验的样本空间 } \Omega \text{ 的一个划分，且 } \\
&P(B_i) > 0\ (i = 1,2,\cdots,n)，\text{则对任一事件 } A (P(A) > 0)，有：\\
&P(B_i \mid A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A \mid B_i)}{\sum\limits_{j=1}^n P(B_j)P(A \mid B_j)},\quad i = 1, 2, \cdots, n. \\
&\text{上述公式称为 Bayes 公式。} \textbf{注：}P(B_i) \text{ 称为先验概率，}P(B_i \mid A) \text{ 称为后验概率。}
\end{aligned}
\)
定义
#E111
E111
\(
\text{对任意两个事件 } A, B，\text{若满足 } P(AB) = P(A)P(B)，\\
\text{则称事件 } A \text{ 与事件 } B \text{ 相互独立，简称 } A \text{ 与 } B \text{ 独立。}
\)
定义
#E112
E112
\[
\begin{aligned}
&\text{设 } n \text{ 个事件 } A_1,A_2,\dots,A_n\,(n\ge 2)\text{，若满足}\\
&\qquad P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)\,(i\lt j)\quad (C_n^{2}\text{ 个等式})\\
&\qquad P(A_iA_jA_k)=P(A_i)P(A_j)P(A_k)\,(i \lt j \lt k)\quad (C_n^{3}\text{ 个等式})\\
&\qquad \dots\\
&\qquad P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)\quad (C_n^{n}\text{ 个等式})\\
&\text{共 }C_n^{2}+C_n^{3}+\dots+C_n^{n}=2^{n}-1-n\text{ 个等式均成立，}\\
&\text{则称事件 }A_1,A_2,\dots,A_n\text{ 相互独立；若仅有上述中的 }C_n^{2}\text{ 个等式成立，}\\
&\text{则称事件 }A_1,A_2,\dots,A_n\text{ 两两独立。}
\end{aligned}
\]
定义
#E12
E12
\(
\text{如果在四对事件 } A \text{ 与 } B,\ A \text{ 与 } \overline{B},\ \overline{A} \text{ 与 } B,\ \overline{A} \text{ 与 } \overline{B} \text{ 中，}\\
\text{任一对事件相互独立，则其余三对事件也分别相互独立。}
\)
定义
#E3
E3
\(
\begin{aligned}
&\text{对两个随机事件 } A,B,\text{若 } 0\lt P(A)\lt 1,0\lt P(B)\lt 1,\text{则有：}\\[6pt]
&A,B\text{ 互不相容一定不相互独立};\\[10pt]
&A,B\text{ 相互独立一定不是互不相容的}.
\end{aligned}
\)