🎯数理统计基本概念

\( \begin{aligned} &\text{设 } (X_1, X_2, \dots, X_n) \text{ 为总体 } X \text{ 的简单随机样本，}\\ &g(r_1,r_2,\dots,r_n) \text{ 为一实值连续函数，且不含除自变量之外的未知参数，}\\ &\text{则随机变量 } g(X_1,X_2,\dots,X_n) \text{ 称为统计量。}\\[6pt] &\text{若 } (x_1,x_2,\dots,x_n) \text{ 为一个样本值，}\\ &\quad \text{则 } g(x_1,x_2,\dots,x_n) \text{ 为统计量 } g(X_1,X_2,\dots,X_n) \text{ 的一个样本值。} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} &\text{设随机变量 } X_1,X_2,\dots,X_n \text{ 相互独立，且 } X_i\sim N(0,1)\; (i=1,2,\dots,n)，\\ &\text{则统计量 } \chi^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i^{\,2}\;\text{服从自由度为 } n \text{ 的 } \chi^{2}\text{ 分布，}\\ &\quad \chi^{2}\sim \chi^{2}(n).\\[6pt] &\text{其概率密度为}\\ &\quad f_{\chi^{2}}(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2^{n/2}\,\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}\right)}\,e^{-x/2}\,x^{\,\frac{n}{2}-1}, & x \gt 0,\\ 0, & x\le 0, \end{cases}\\[10pt] &\text{其中 } \displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{\,x-1}e^{-t}\,dt\;\text{是 Gamma 函数。} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} &\text{设 } X\sim N(0,1),\;Y\sim \chi^{2}(n)\;(n\in\mathbb{N}),\;\text{且 } X, Y \text{ 相互独立}，\\ &\text{令 }\displaystyle T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}，\text{则随机变量 } T \text{ 服从自由度为 } n \text{ 的 } t \text{ 分布（又称 Student 分布），记为 }\\ &T\sim t(n).\text{其概率密度为}\\ &\qquad f_{T}(t)= \frac{\displaystyle \Gamma\!\bigl(\tfrac{n+1}{2}\bigr)} {\displaystyle \sqrt{n\pi}\;\Gamma\!\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)} \left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}},\qquad -\infty\lt t \lt +\infty. \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} &\text{设 } U\sim \chi^{2}(m),\;V\sim \chi^{2}(n),\;\text{且 }U\text{ 与 }V\text{ 相互独立}，\\ &\text{令 }\displaystyle F=\frac{\tfrac{U}{m}}{\tfrac{V}{n}}，\text{则 }F\text{ 服从第一自由度为 }m\text{、第二自由度为 }n\text{ 的 }F\text{ 分布}，\\ &F\sim F(m,n).\text{其概率密度为}\\ &\qquad f_{F}(t)= \begin{cases} \dfrac{\displaystyle\Gamma\!\bigl(\tfrac{m+n}{2}\bigr)} {\displaystyle\Gamma\!\bigl(\tfrac{m}{2}\bigr)\,\Gamma\!\bigl(\tfrac{n}{2}\bigr)} \left(\dfrac{m}{n}\right)^{\!\tfrac{m}{2}} t^{\tfrac{m}{2}-1} \left(1+\dfrac{m}{n}t\right)^{-\tfrac{m+n}{2}}, & t\gt 0,\\[10pt] 0, & t\le 0. \end{cases} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} &\textbf{定理 6.3.1}\\ &\text{设 } X\sim N\bigl(\mu,\sigma^{2}\bigr),\; (X_{1},X_{2},\dots,X_{n}) \text{ 为来自总体 } X \text{ 的简单随机样本},\\ &\;\;\bar X,\;S^{2}\;\text{分别是样本均值与样本方差，则}\\[6pt] &\quad (1)\; \bar X\sim N\!\Bigl(\mu,\tfrac{\sigma^{2}}{n}\Bigr),\; \text{或 }\displaystyle \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1);\\[10pt] &\quad (2)\; \displaystyle \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \,=\,\sum_{i=1}^{n} \Bigl(\tfrac{X_{i}-\bar X}{\sigma}\Bigr)^{2} \sim\chi^{2}(n-1);\\[14pt] &\quad (3)\; \displaystyle \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \text{ 与 }\bar X\text{ 相互独立}.\\[16pt] &\textbf{推论：}\displaystyle \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t\bigl(n-1\bigr). \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} &\textbf{定理 6.3.2}\\ &\text{设 } X\sim N\bigl(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}\bigr),\; (X_{1},X_{2},\dots,X_{n}) \text{ 为来自总体 } X \text{ 的简单随机样本};\\ &\qquad Y\sim N\bigl(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}\bigr),\; (Y_{1},Y_{2},\dots,Y_{m}) \text{ 为来自总体 } Y \text{ 的简单随机样本},\; X \text{ 与 } Y \text{ 相互独立}.\\[6pt] &\quad \bar X = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i},\qquad S_{1}^{2} = \tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar X\bigr)^{2},\\ &\quad \bar Y = \tfrac{1}{m}\sum_{j=1}^{m} Y_{j},\qquad S_{2}^{2} = \tfrac{1}{m-1}\sum_{j=1}^{m}\bigl(Y_{j}-\bar Y\bigr)^{2}.\\[10pt] &\textbf{(1)}\; \displaystyle \frac{S_{1}^{2}/\sigma_{1}^{2}}{S_{2}^{2}/\sigma_{2}^{2}} \;\sim\;F\bigl(n-1,,m-1\bigr),\\ &\qquad \text{特别地，若 }\sigma_{1}\equiv\sigma_{2},\text{ 则 } \dfrac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\sim F\bigl(n-1,,m-1\bigr).\\[14pt] &\textbf{(2)}\; \text{当 }\sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma\text{ 时},\\[4pt] &\qquad \displaystyle \frac{\bigl(\bar X-\bar Y\bigr)-\bigl(\mu_{1}-\mu_{2}\bigr)} {\sqrt{\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{m}}\; \sqrt{\dfrac{(n-1)S_{1}^{2}+(m-1)S_{2}^{2}}{\,n+m-2\,}}} \;\sim\; t\bigl(n+m-2\bigr). \end{aligned} \)