核心概念与定义
27 项
定义
#B
二维随机变量及其分布
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } E \text{ 为一个随机试验，}\Omega \text{ 为其样本空间。若对 } \Omega \text{ 中任意 } \omega,\\
&\text{按照一定的对应法则，都有一对实数 } \bigl(X(\omega),Y(\omega)\bigr) \text{ 与之对应，}\\
&\text{简记为 } (X,Y),\;\text{则称 } (X,Y) \text{ 为二维随机变量。}
\end{aligned}
\)
定义
#B1
联合分布函数定义
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } (X,Y) \text{ 为二维随机变量。对任意实数 } x,y,\\
&\text{定义在平面上的二元函数}\\
&\qquad F(x,y)=P\bigl(\{X\le x\}\cap\{Y\le y\}\bigr)
=P(X\le x,\,Y\le y),\\
&\text{称为二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合分布函数，}\\
&\text{简称为分布函数或联合分布。}
\end{aligned}
\)
定义
#B12
边缘分布函数
\(
\begin{aligned}
&\text{设二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合分布函数为 } F(x,y)。\\
&\text{由于分量 } X,Y \text{ 亦为随机变量，各自的分布函数定义为}\\
&\qquad F_{X}(x)=\lim_{y\to +\infty} F(x,y)=P(X\le x),\\
&\qquad F_{Y}(y)=\lim_{x\to +\infty} F(x,y)=P(Y\le y)。\\
&\text{称 } F_{X}(x),F_{Y}(y) \text{ 分别为随机变量 } (X,Y) \text{ 关于 } X \text{ 和 } Y \text{ 的边缘分布函数。}
\end{aligned}
\)
定义
#B2
离散型 （随机事件发生的概率等于其分布律在对应区域的概率之和）
\(
\begin{aligned}
&\text{若二维随机变量 } (X,Y) \text{ 在二维平面上所有可能的取值为}\\
&\text{有限对或可列无穷对，}\text{则称 } (X,Y) \text{ 为二维离散型随机变量。}
\end{aligned}
\)
定义
#B21
联合分布律： 非负性，规范性
\(
\begin{aligned}
&\text{设二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的所有可能取值为 } (x_i,y_j),\;
i,j = 1,2,\dots,\\
&\text{若记} \; P\bigl(X = x_i,\,Y = y_j\bigr)=p_{ij},\; i,j = 1,2,\dots,\\
&\text{则称 } \{p_{ij}\} \text{ 为二维离散型随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合分布律}\\
&\text{或联合分布列，简称为分布律。其具有如下性质：}\\
&\text{(1) 非负性：}\quad p_{ij}\ge 0,\quad i,j=1,2,\dots;\\[4pt]
&\text{(2) 规范性：}\quad \sum_{i}\sum_{j} p_{ij}=1.
\end{aligned}
\)
定义
#B211
边缘分布律
\(
\begin{aligned}
&\text{二维离散型随机变量的两个分量均为离散型随机变量，且其分布律分别如下表示： }\\
&P(X = x_i)=\sum_{j} p_{ij}\;\triangleq\;p_{i\cdot},\quad i=1,2,\dots;\\[6pt]
&P(Y = y_j)=\sum_{i} p_{ij}\;\triangleq\;p_{\cdot j},\quad j=1,2,\dots.\\
&\text{分别称 }P(X = x_i)\text{和}P(Y = y_j)\text{为} (X,Y)\text{关于}X\text{和关于}Y\text{的边缘分布律。}
\end{aligned}
\)
定义
#B3
连续型 （随机事件发生的概率等于其概率密度在对应区域的积分）
\(
\begin{aligned}
&\text{设二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的分布函数为 } F(x,y)。\\
&\text{若存在一二元非负可积函数 } f(x,y) \text{ 使得对任意实数 } (x,y),\\
&\qquad
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\!\int_{-\infty}^{y} f(u,v)\,du\,dv,\\
&\text{则称 } (X,Y) \text{ 为二维连续型随机变量，}\\
&\text{并称 } f(x,y) \text{ 为 } (X,Y) \text{ 的联合概率密度函数（简称联合密度）。}
\end{aligned}
\)
定义
#B31
联合概率密度： 非负性，规范性
\(
\begin{aligned}
&\text{联合概率密度 } f(x,y) \text{ 具有以下性质：}\\
&(1)\;\text{非负性：}\quad f(x,y)\ge 0,\; -\infty \lt x \lt +\infty,\; -\infty\lt y \lt +\infty;\\[4pt]
&(2)\;\text{规范性：}\quad
\int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\,dy = 1.
\end{aligned}
\)
定义
#B311
边缘密度
\(
\begin{aligned}
&\text{由定义，边缘分布函数 } F_X(x),F_Y(y) \text{ 可表示为}\\[4pt]
&F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x,\,Y\le +\infty)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^{x}\!\int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,dv\,du
=\int_{-\infty}^{x}\Bigl[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,dv\Bigr]du,\\[8pt]
&F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X\le +\infty,\,Y\le y)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_{-\infty}^{y} f(u,v)\,du\,dv
=\int_{-\infty}^{y}\Bigl[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,du\Bigr]dv.\\[10pt]
&\text{从而 } X,Y \text{ 也是连续型随机变量，其边缘概率密度分别为}\\[4pt]
&\qquad f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dy,\\[6pt]
&\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx,\\[6pt]
&\text{并称 } f_X(x),f_Y(y) \text{ 为 } (X,Y) \text{ 关于 } X \text{ 和 } Y \text{ 的边缘概率密度。}
\end{aligned}
\)
定义
#B321
二维均匀分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若二维随机变量 } (X,Y) \text{ 仅在二维有界区域 } G \text{ 上取值，}\\
&\text{且其联合概率密度为}\\
&\qquad
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{\text{面积}(G)}, & (x,y)\in G,\\
0, & \text{其他},
\end{cases}\\[6pt]
&\text{则称 } (X,Y) \text{ 服从 } G \text{ 上的均匀分布。}
\end{aligned}
\)
定义
#B322
二维正态分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合概率密度为}\\[4pt]
&\quad
f(x,y)=
\frac{1}{2\pi\,\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\,
\exp\Biggl\{\!
-\frac{1}{2(1-\rho^{2})}
\Bigl[
\frac{(x-\mu_{1})^{2}}{\sigma_{1}^{2}}
-\frac{2\rho(x-\mu_{1})(y-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}
+\frac{(y-\mu_{2})^{2}}{\sigma_{2}^{2}}
\Bigr]
\Biggr\},\\[10pt]
&\text{其中 } \mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1},\sigma_{2},\rho \text{ 为常数，}\\
&\sigma_{1}\gt 0,\;\sigma_{2} \gt 0,\;-1\lt \rho \lt 1,\\[6pt]
&\text{则称 } (X,Y) \text{ 服从参数为 }
(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1},\sigma_{2},\rho)
\text{ 的二维正态分布，记作}\\
&\qquad (X,Y)\sim N\bigl(\mu_{1},\sigma_{1}^{2};\,\mu_{2},\sigma_{2}^{2};\,\rho\bigr).
\end{aligned}
\)
定义
#C11
条件分布律
\(
\begin{aligned}
&\text{设有二维离散型随机变量 } (X,Y)。\text{对于固定的 } j,\text{若 } P(Y=y_j)>0,\text{则称}\\
&\qquad
P(X=x_i\mid Y=y_j)
=\frac{P(X=x_i,\,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}
=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},
\quad i=1,2,\dots,\\
&\text{为在 }\{Y=y_j\}\text{ 的条件下 } X \text{ 的条件分布律。}\\[6pt]
&\text{同样，对固定的 } i,\text{若 } P(X=x_i)>0,\text{则称}\\
&\qquad
P(Y=y_j\mid X=x_i)
=\frac{P(X=x_i,\,Y=y_j)}{P(X=x_i)}
=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}},
\quad j=1,2,\dots,\\
&\text{为在 }\{X=x_i\}\text{ 的条件下 } Y \text{ 的条件分布律。}
\end{aligned}
\)
定义
#C21
条件概率密度
\(
\begin{aligned}
&\text{设二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合概率密度为 } f(x,y),\
X \text{ 与 } Y \text{ 的边缘概率密度分别为 } f_X(x),f_Y(y)。\\
&\text{当 } f_Y(y) \gt 0 \text{ 时，称}\\
&\qquad
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)},\quad -\infty \lt x \lt +\infty,\\
&\text{为在 } \{Y=y\} \text{ 的条件下 } X \text{ 的条件概率密度；记作 } f_{X\mid Y}(x\mid y)。\\[6pt]
&\text{当 } f_X(x)\gt 0 \text{ 时，在 } \{X=x\} \text{ 的条件下 } Y \text{ 的条件概率密度为}\\
&\qquad f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)},\quad -\infty \lt y \lt +\infty.\\[6pt]
\end{aligned}
\)
定义
#C22
条件分布函数
\(
\begin{aligned}
&\text{设二维随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合概率密度为 } f(x,y),\
X \text{ 与 } Y \text{ 的边缘概率密度分别为 } f_X(x),f_Y(y)。\\
&\text{当 } f_Y(y)\gt 0 \text{ 时，称}\\
&\text{在 } \{Y=y\} \text{ 的条件下 } X \text{ 的条件分布函数为}\\
&\qquad
F_{X\mid Y}(x\mid y)=\int_{-\infty}^{x}\!\dfrac{f(u,y)}{f_Y(y)}\,du,
\quad -\infty \lt x \lt +\infty.\\[10pt]
&\text{当 } f_X(x) \gt 0 \text{ 时，在 } \{X=x\} \text{ 的条件下 } Y \text{ 的条件分布函数为}\\
&\qquad
F_{Y\mid X}(y\mid x)=\int_{-\infty}^{y}\!\dfrac{f(x,v)}{f_X(x)}\,dv,
\quad -\infty \lt y \lt +\infty.
\end{aligned}
\)
定义
#E1
联合分布函数
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } (X_1,X_2,\dots,X_n) \text{ 为 } n \text{ 维随机变量，对任意 } x_1,x_2,\dots,x_n\in\mathbb R,\\
&\qquad F(x_1,x_2,\dots,x_n)=P\bigl(X_1\le x_1,\,X_2\le x_2,\,\dots,\,X_n\le x_n\bigr),\\
&\text{称 } F(x_1,x_2,\dots,x_n) \text{ 为 } n \text{ 维随机变量 } (X_1,X_2,\dots,X_n) \\
&\text{的联合分布函数，或简称分布函数。}
\end{aligned}
\)
定义
#E11
边缘分布函数
\(
\begin{aligned}
&\text{称 } n \text{ 维随机变量 } (X_1,X_2,\dots,X_n) \text{ 的任意 } k\,(1\le k\le n) \\
&\text{个分量所构成的 } k \text{ 维随机变量的联合分布函数为其 } k \text{ 维边缘分布函数。}\\
&\text{特别地，当 } k=1 \text{ 时，称为一维边缘分布函数，记作 } F_{X_i}(x_i),\; i=1,2,\dots,n.
\end{aligned}
\)
定义
#F12
F12
\(
\begin{aligned}
&\text{设二维离散型随机变量 } (X,Y) \text{ 的联合分布律为 } P(X = x_i, Y = y_j)=p_{ij},\;
i,j=1,2,\dots;\\
&z=g(x,y) \text{ 为给定的二元函数，令随机变量 } Z=g(X,Y)。\\[6pt]
&\text{设 } Z \text{ 的所有不同取值记为 } z_k\;(k=1,2,\dots)，\
\text{并列出满足 } g(x_i,y_j)=z_k \text{ 的全部点 } (x_i,y_j)。\\[6pt]
&\text{则 } Z \text{ 的分布律为}\\
&\qquad
P(Z = z_k)=P\bigl(g(X,Y)=z_k\bigr)
=\sum_{g(x_i,y_j)=z_k} P(X = x_i, Y = y_j),\quad k=1,2,\dots.
\end{aligned}
\)
定义
#F111
泊松分布的可加性
\(
\begin{aligned}
&\qquad X \sim P(\lambda_1),\; Y \sim P(\lambda_2),\; X\text{和} Y\text{独立，} \\
&\qquad\Longrightarrow\; X+Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2).
\end{aligned}
\)
定义
#F112
二项分布的可加性
\(
\begin{aligned}
&\qquad X \sim B(n,p),\; Y \sim B(m,p),\; X\text{和} Y\text{独立，} \\
&\qquad\Longrightarrow\; X+Y \sim B(n+m,p).
\end{aligned}
\)
定义
#F21
和的分布
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } (X,Y) \text{ 的联合概率密度为 } f(x,y),\;
z=g(x,y) \text{ 为二元函数，令 } Z=g(X,Y)。\\
&\text{由分布函数定义可得 } Z \text{ 的分布函数}\\
&\qquad
F_Z(z)=P(Z\le z)=P\bigl(g(X,Y)\le z\bigr)
=\iint_{g(x,y)\le z} f(x,y)\,dx\,dy.\\[6pt]
&\text{若存在非负可积函数 } f_Z(z) \text{ 满足}\\
&\qquad
F_Z(z)=\int_{-\infty}^{z} f_Z(u)\,du,\\
&\text{则随机变量 } Z=g(X,Y) \text{ 的概率密度为}\\
&\qquad
f_Z(z)=F_Z'(z).
\end{aligned}
\)
定义
#F211
两个相互独立随机变量和的分布：卷积公式
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } (X,Y) \text{ 为连续型随机变量，其联合概率密度为 } f(x,y)，\text{令 } Z=X+Y\\
&\text{则 } Z \text{ 的分布函数为}\\
&\qquad
F_Z(z)=P(Z\le z)=P(X+Y\le z)
=\int_{x+y\le z} f(x,y)\,dx\,dy\\
&\qquad
=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\Bigl[\int_{-\infty}^{z-x} f(x,y)\,dy\Bigr]dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}\!\Bigl[\int_{-\infty}^{z-y} f(x,y)\,dx\Bigr]dy.\\
&\text{从而 } Z \text{ 的概率密度为}\\
&\qquad
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f\bigl(x,z-x\bigr)\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty} f\bigl(z-y,y\bigr)\,dy.
\end{aligned}
\)
定义
#F2111
正态分布的可加性
\(
\begin{aligned}
&\text{若 } X,Y \text{ 相互独立，则}\\
&\qquad
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx\\
&\qquad\;\;=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)\,dy
\;\triangleq\;(f_X*f_Y)(z).\\[4pt]
&\text{因此 } f_Z(z) \text{ 被称为 } f_X(x) \text{ 与 } f_Y(y) \text{ 的卷积，记作 } f_X*f_Y(z).
\end{aligned}
\)
定义
#F2112
F2112
\(
\begin{aligned}
&\text{若 } (X,Y)\sim N\bigl(\mu_{1},\sigma_{1}^{2};\,\mu_{2},\sigma_{2}^{2};\,\rho\bigr),\;\text{则}\\
&\qquad X+Y\sim N\bigl(\mu_{1}+\mu_{2},\;\sigma_{1}^{2}+2\rho\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}^{2}\bigr).\\[8pt]
&\text{特别地，若 } X,Y \text{ 相互独立且 } X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),\;
Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}),\;\text{则}\\
&\qquad X\pm Y\sim N\bigl(\mu_{1}\pm\mu_{2},\;\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\bigr).\\[10pt]
&\text{若 } X_{1},X_{2},\dots,X_{n} \text{ 相互独立且 } X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}),\;
i=1,2,\dots,n,\;\text{则}\\
&\qquad \sum_{i=1}^{n} X_{i}\sim
N\Bigl(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \mu_{i},\;
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sigma_{i}^{2}\Bigr).
\end{aligned}
\)
定义
#F221
F221
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } Z = aX + bY + c,\;\text{其中 } a,b,c \text{ 为常数且 } a\ne 0,\,b\ne 0.\\
&\text{则 } Z \text{ 的概率密度为}\\[4pt]
&\qquad
f_Z(z)=\frac{1}{|b|}\int_{-\infty}^{+\infty}
f\!\left(t,\,\dfrac{z-at-c}{b}\right)dt
\,=\,\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}
f\!\left(\dfrac{z-bt-c}{a},\,t\right)dt.
\end{aligned}
\)
定义
#F222
F222
\(
\begin{aligned}
&F_Z(z)=P(Z\le z)=P\!\left(\frac{X}{Y}\le z\right)\\
&\quad=\iint_{\frac{x}{y}\le z} f(x,y)\,dx\,dy
=\int_{0}^{+\infty}\Bigl[\int_{-\infty}^{yz} f(x,y)\,dx\Bigr]dy
+\int_{-\infty}^{0}\Bigl[\int_{yz}^{+\infty} f(x,y)\,dx\Bigr]dy.\\[6pt]
&Z \text{ 的概率密度为}\\
&f_Z(z)=\frac{d}{dz}F_Z(z)
=\int_{0}^{+\infty} f(yz,y)\,y\,dy
-\int_{-\infty}^{0} f(yz,y)\,y\,dy\\
&\quad=\int_{-\infty}^{+\infty} f(yz,y)\,|y|\,dy.\\[8pt]
&\text{若 } X \text{ 与 } Y \text{ 相互独立，则}\\
&\qquad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(yz)\,f_Y(y)\,|y|\,dy.
\end{aligned}
\)
定义
#F223
F223
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } (X,Y) \text{ 的联合概率密度为 } f(x,y)，\
\text{令 } Z=X^{2}+Y^{2}。\\[6pt]
& Z \text{ 的分布函数}\\
&F_{Z}(z)=P\bigl(X^{2}+Y^{2}\le z\bigr)=
\begin{cases}
0, & z<0,\\[4pt]
\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}\le z} f(x,y)\,dx\,dy, & z\ge 0.
\end{cases}\\[10pt]
&\text{在 } (x,y)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta) \text{ 下}\\
&\qquad
F_{Z}(z)=
\begin{cases}
0, & z\lt 0,\\[4pt]
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\!d\theta
\int_{0}^{\sqrt{z}} f\bigl(r\cos\theta,\,r\sin\theta\bigr)\,r\,dr, & z\ge 0.
\end{cases}\\[12pt]
&Z \text{ 的概率密度为}\\
&f_{Z}(z)=\dfrac{d}{dz}F_{Z}(z)=
\begin{cases}
0, & z\lt 0,\\[6pt]
\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}
f\bigl(\sqrt{z}\cos\theta,\,\sqrt{z}\sin\theta\bigr)\,d\theta, & z\ge 0.
\end{cases}
\end{aligned}
\)
定义
#F224
F224
\(
\begin{aligned}
&\text{若 } X_1,X_2,\dots,X_n \text{ 相互独立，且 } X_i \text{ 的分布函数为 } F_{X_i},\\
&\quad M=\max_{1\le i\le n}X_i,\;N=\min_{1\le i\le n}X_i,\text{则}\\
&\qquad F_M(z)=\prod_{i=1}^{n} F_{X_i}(z),\\
&\qquad F_N(z)=1-\prod_{i=1}^{n}\bigl[1-F_{X_i}(z)\bigr].\\
&\text{若进一步 } X_1,\dots,X_n \text{ 独立且同分布，公共分布函数为 } F(z),\text{则}\\
&\qquad F_M(z)=\bigl[F(z)\bigr]^{n},\\
&\qquad F_N(z)=1-\bigl[1-F(z)\bigr]^{n}.
\end{aligned}
\)