核心概念与定义
19 项
定义
#B11
B11
\(
\begin{aligned}
&\text{设随机试验的样本空间为 } \Omega,\;
\forall\,\omega\in\Omega,\;\text{按一定的法则，均对应一个实数 } X(\omega).\\
&\text{则称定义在 } \Omega \text{ 上的实值单值函数 } X(\omega)\;
\text{为随机变量。}
\end{aligned}
\)
定义
#B21
分布函数性质：分布函数的值域介于0和1之间；具有单调不减性；具有右连续性
\(
\begin{aligned}
&\text{设 } X \text{ 为一随机变量，对任意实数 } x,\text{称}\\
&\qquad F(x)=P(X\le x),\quad -\infty \lt x \lt+\infty,\\
&\text{为 } X \text{ 的分布函数（累积分布函数）。有时为突出其对 } X \text{ 的依赖性，亦记作 } F_{X}(x).\!
\end{aligned}
\)
定义
#B221
B221
\(
\begin{aligned}
& (1)\; 0\le F(x)\le 1,\qquad
\lim_{x\to -\infty}F(x)=0,\;
\lim_{x\to +\infty}F(x)=1;\\
& (2)\; F(x) \text{ 为单调不减函数},\;
\forall\,x_1 \lt x_2,\; F(x_1)\le F(x_2);\\[6pt]
& (3)\; F(x) \text{ 右连续},\;
\lim_{t\to x^{+}}F(t)=F(x)
\;\bigl(\text{或 } F(x+0)=F(x)\bigr).
\end{aligned}
\)
定义
#C11
分布律
\(
\begin{aligned}
&\text{设离散型随机变量 } X \text{ 的所有可能取值为 } X = x_k\,(k = 1,2,\dots),\\
&\text{且 } x_1 < x_2 \lt \cdots.\;\text{称}\\
&\qquad P\bigl(X = x_k\bigr) = p_k,\quad k = 1,2,\dots,\\
&\text{为 } X \text{ 的分布律（或分布列）。}
\end{aligned}
\)
定义
#C12
分布函数
\(
\begin{aligned}
&\text{设随机变量 } X \text{ 的分布函数为 } F(x),\;
\text{分布律为 } P(X = x_k) = p_k,\; k = 1,2,\dots,\\[6pt]
&\text{则}\\
&\qquad F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_{k} \le x} P(X = x_k);\\[8pt]
&\qquad P(X = x_k) = p_k
= P(x_{k-1} < X \le x_k)
= F(x_k) - F(x_{k-1}).\!
\end{aligned}
\)
定义
#C21
0-1分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若随机试验只有两个可能结果，常用 0-1 分布描述，}\\
&\text{其分布律为}\\
&\qquad P(X=k)=p^{\,k}(1-p)^{\,1-k},\quad k=0,1,\;0\lt p \lt 1,\\[4pt]
&\text{其中 } p=P(X=1),\;1-p=P(X=0).
\end{aligned}
\)
定义
#C22
泊松分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若随机变量 } X \text{ 的分布列为}\\[4pt]
&\qquad P(X = k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}\,e^{-\lambda},\quad k = 0,1,2,\dots,\\[6pt]
&\text{其中 } \lambda>0,\;\text{则称 } X \text{ 服从参数为 } \lambda \text{ 的 Poisson 分布，记作 } X\sim P(\lambda).\!
\end{aligned}
\)
定义
#C23
伯努利分布（二项分布）
\(
\begin{aligned}
&\text{二项分布（伯努利模型）}\\[4pt]
&n\text{ 重 Bernoulli 试验定义：}\\
&\quad\circ\; \text{相互独立地重复做 } n \text{ 次；}\\
&\quad\circ\; \text{每次试验关注事件为 } A,\;\text{结果仅两种： } A,\,\overline{A}.\\[6pt]
&\text{令 } X \text{ 表示 } n \text{ 次试验中事件 } A \text{ 发生的次数，则 } X \text{ 的分布律为}\\
&\qquad P(X = k)=C_n^{\,k} p^{\,k}(1-p)^{\,n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\\[6pt]
&\text{称 } X \sim B(n,p).
\end{aligned}
\)
定义
#C24
几何分布
\(
\begin{aligned}
&\text{设一次 Bernoulli 试验成功概率为 } p\;(0 \lt p\lt 1),\\
&\text{独立地重复试验，直到首次成功出现。令 } X\text{ 为所需的试验次数，则}\\[4pt]
&\qquad P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p,\quad k = 1,2,\dots\\[6pt]
\end{aligned}
\)
定义
#D11
概率密度函数
\(
\begin{aligned}
&\text{设随机变量 } X \text{ 的分布函数为 } F(x).\\
&\text{若存在一个非负可积函数 } f(x) \text{ 使得}\\[4pt]
&\qquad F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt,\quad -\infty \lt x \lt +\infty,\\[6pt]
&\text{则称 } X \text{ 为连续型随机变量，}f(x) \text{ 为其概率密度函数}\\
&\text{（简称概率密度或密度函数），记作 } f_{X}(x).
\end{aligned}
\)
定义
#D12
分布函数
\(
\begin{aligned}
&\text{连续型随机变量 } X \text{ 的概率密度函数为 } f(x),\\
&\text{则其分布函数为 }\qquad F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt,\quad -\infty \lt x \lt +\infty.\\[6pt]
\end{aligned}
\)
定义
#D121
非负
\( f(x) \ge 0 \)
定义
#D122
R上积分为1
\( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = F(+\infty)=1 \)
定义
#D123
概率计算：对应 集合内的积分
\(
\begin{aligned}
&\text{对任意实数 } a,b\,(a \lt b),\;\text{有}\\[4pt]
&P(a\lt X\le b)=P(a\le X\le b)=P(a\lt X \lt b)=P(a\le X \lt b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx,\\[6pt]
&P(X\le b)=P(X \lt b)=\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx,\\[6pt]
&P(X \gt a)=P(X\ge a)=\int_{a}^{+\infty} f(x)\,dx.\\
\end{aligned}
\)
定义
#D124
与分布函数的关系
\( \text{当 } f \text{ 在 } x \text{ 处连续，} f(x) = F'(x). \)
定义
#D21
均匀分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若随机变量 } X \text{ 的概率密度为}\\
&\qquad
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, & a\lt x \lt b,\\
0, & \text{其他},
\end{cases}\\[6pt]
&\text{则称 } X \text{ 服从区间 } (a,b) \text{ 上的均匀分布，记作 } X\sim U(a,b)。\\[6pt]
&\text{其分布函数为}\\
&\qquad
F(x)=
\begin{cases}
0, & x\lt a,\\
\dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x \lt b,\\
1, & x\ge b.
\end{cases}
\end{aligned}
\)
定义
#D22
指数分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若随机变量 } X \text{ 的概率密度为}\\
&\qquad
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x\gt 0,\\
0, & x\le 0,
\end{cases}\quad(\lambda>0)\\[6pt]
&\text{则称 } X \text{ 服从参数为 } \lambda \text{ 的指数分布，记作 } X\sim E(\lambda)。\\[6pt]
&\text{其分布函数为}\\
&\qquad
F(x)=
\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & x \gt 0,\\
0, & x\le 0.
\end{cases}
\end{aligned}
\)
定义
#D23
正态分布
\(
\begin{aligned}
&\text{若随机变量 } X \text{ 的概率密度为}\\
&\qquad
f(x)=
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,
e^{-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}},\quad -\infty \lt x \lt +\infty,\\[6pt]
&\text{其中 } \mu \text{、} \sigma \text{ 为常数且 } \sigma>0,\\
&\text{则称 } X \text{ 服从参数为 } \mu,\sigma \text{ 的正态分布，记作 } X\sim N(\mu,\sigma^{2})。
\end{aligned}
\)
定义
#D231
概率的计算: 转化为标准正态分布后查表求解
\(
\begin{aligned}
&\textbf{一般正态分布概率可化为标准正态分布概率计算：}\\[6pt]
&\text{设 } X\sim N(\mu,\sigma^{2}),\text{其分布函数记为 }F(x).\\
&\text{记标准正态分布函数 }\Phi(z)=P(Z\le z), Z\sim N(0,1).\\[8pt]
&\text{那么}F(x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
\end{aligned}
\)